BÀI TẬP CHƯƠNG 3
TÍCH PHÂN TRÊN ĐA TẠP
Bài tập 3.1. Cho
là một đa tạp k-chiều định hướng được. Chứng minh rằng, tồn tại một ánh xạ
sao cho
và
có hạng
đối với mọi
.
Bài tập 3.2. Giả sử M là một đa tạp (n-1) chiều trong Rn và
là một tập hợp các đầu mút của tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài
(dựng cả hai hướng). Ngoài ra ta giả thuyết thêm rằng với
khá bé sao cho
cũng là một đa tạp (n-1) chiều. Chứng minh rằng. khi đó
định hướng được (ngay cả khi M không định hướng được).
Giải
Lấy
và ánh xạ g:
trong lân cận của điểm a và ánh xạ h:
sao cho
và
.
Khi đó ta có hệ toạ độ của dạng
và của dạng
. Chọn một định hướng cho mỗi miền để thêm
(tương ứng
cho định hướng thông thường trên Rn. Đây là một định hướng cho
.
Trong trường hợp lá Mobius,
tướng ứng với một đường tròn
.
tập 3.3. Giả sử g:
khả vi và g’(x) có hạng p đối với mọi điểm x mà g(x) = 0. Nếu f:
là khả vi và đạt cực trị tại a thuộc g-1(0). Chứng minh rằng tồn tại các số
sao cho
.
Giải
Ta gọi giá trị lớn nhất thuộc g-1(0) là giá trị lớn nhất bị ràng buộc bởi điều kiện gi = 0.
Ta dễ dàng giải được hệ phương trình này.
Đặt biệt nếu g:
, ta có thể giải n + 1 phươngtrình:


Trong n + 1 biến a1 ,...., an,
,
Điều này rất đơn giản nếu ta bỏ phương trình g(a) = 0. Đây là phương pháp Lagrange, không phụ thuộc
thì được gọi là hệ số Lagrange.
Bài tập 3.4. Giả sử M là đa tạp k-chiều có biên. Khi đó
là một đa tạp
-chiều còn M
là đa tạp k-chiều.
Giải
Nếu M là đa tạp k-chiều thì
thì không thể đồng thời thỏa mãn cả 2 điều kiện (M) và (M’)
Để chứng minh
là đa tạp
-chiều ta cần chứng minh

Umở
n chứa x, Vmở
Rn và vi phôi h: U
sao cho:
h(U
) = V
Rk-1x{0}) = {x
| xk = xk+1=…=xn = 0}

. Do M là đa tạp k-chiều
Suy ra tồn tại bộ ba {U, V, h} của x trong điều kiện (M’), trong đó Umở
n chứa x, Vmở
Rn và vi phôi h: U
sao cho:
h(U
) = V= (Hkx{0}) = {x
| xk
0 và xk+1=…=xn = 0}
Ta cần chứng minh hk(x)=0 (thành phần thứ k của h(x)=0).
Nghĩa là h biến mỗi điểm trên
thành mỗi điểm trên biên của Hk x {0}.
Nếu trái lại hk(x)
0
Khi đó, h(x)
(Hkx{0}) = {x
| xk>0 và xk+1=…=xn = 0}
Mà Hk x {0}=(Rk x {0})
{x
Rn| xk>0}
=(Rk x {0})
V’
Với V’={x
Rn| xk>0} là tập mở trong Rn.
Đặt V1=V
V’ , U1=h-1(V1)
V1, U1 là các tập mở của Rn
Xét ánh xạ thu hẹp h’=h|U1: U1
V1
Khi đó h’ là vi phôi thỏa mãn h’(U1
M) = V1
(Rk x {0})
Vậy x thõa mãn điều kiện (M) (vô lý)

và bộ ba{U,V,h} của x trong điều kiện (M’) thì h(x)
V đồng thời h(x)
Hk x {0}.
Ta lại có hk(x)=0
h(x)
Rk-1 x {0}
Với mọi x không nằm trên
thì không có tính chất này
Do đó h(U
) = V
Rk-1 x {0})
Vậy
là một đa tạp
-chiều
Ngoài ra những điểm không thuộc (M’) phải thuộc M
nên M
là đa tạp k-chiều.
Bài tập 3.5. Cho A
Rn là một tập mở sao cho bdA là một đa tạp
-chiều. Chứng minh rằng
là đa tạp n-chiều có biên.
Giải
Vì